- Что такое случайное событие?
- Что такое вероятностное пространство?
- Что такое случайная величина?
- Закон распределения случайной величины:
- Что такое распределение вероятностей?
- Что такое функция распределения?
- Что такое плотность распределения?
- Что такое математическое ожидание?
- Что такое дисперсия?
- Что такое начальные и центральные моменты?
- Что такое функции от случайных величин?
- зависимые и независимые события и случайные величины
- случайные вектора, из распределения и характеристики
- последовательности случайных величин
- предельные теоремы
- теоремы Муавра-Лапласа
- закон больших чисел
- центральная предельная теорема
- основные законы распределений
- норамльный
- равномерный на [a,b]
- экспоненциальный
- логистический
- Пуассона
- геометрический
- биномиальный
Что такое случайное событие?
Случайный эксперимент состоит в бросании игральной кости:
- пример случайного события — выпавшее число чётно;
- события «Выпала единица», «Выпала двойка» и т. д. — элементарные исходы эксперимента;
- совокупность всех событий «Выпала 1»..«Выпала 6» — полная группа событий.
Что такое вероятностное пространство?
Рассмотрим эксперимент с бросанием уравновешенной монеты. Вероятностное пространство, в рамках которого можно рассматривать различные задачи — это тройка (\Omega,\mathfrak{A},\mathbb{P}) (иногда обрамляемая угловыми скобками: \langle,\rangle), где:
- \Omega — это произвольное непустое множество, элементы которого называются элементарными событиями, исходами или точками. Естественным будет взять два события: выпадение герба (\Gamma) и выпадение решки (\mathrm{P}), то есть \Omega=\{\Gamma,\mathrm{P}\}.
- \mathfrak{A} — сигма-алгебра подмножеств \Omega, называемых (случайными) событиями. Тогда \mathfrak{A} = \{\{\Gamma\},\{\mathrm{P}\},\{\Gamma,\mathrm{P}\},\varnothing\}.
- \mathbb{P} — вероятностная мера или вероятность, т.е. сигма-аддитивная конечная мера, такая что \mathbb{P}(\Omega) = 1. Мера — это некоторая числовая функция, ставящая в соответствие каждому множеству (из некоторого семейства множеств) некоторое неотрицательное число. Вероятность можно посчитать следующим образом: \mathbb{P}(\{\Gamma\}) = \frac{1}{2},\; \mathbb{P}(\{\mathrm{P}\}) = \frac{1}{2},\; \mathbb{P}(\{\Gamma,\mathrm{P}\}) = 1,\; \mathbb{P}(\varnothing) = 0.
Что такое случайная величина?
Случайные величины используются для математического представления таких сторон объектов, систем и событий, количественную характеристику которых до проведения опыта по их измерению, однозначно определить принципиально невозможно. Случайная величина представляет собой измеримую функцию, определенную на вероятностном пространстве. Формальное математическое определение следующее: пусть (\Omega,\mathcal{F}, \mathbb{P}) — вероятностное пространство, тогда случайной величиной называется функция X\colon\Omega \to \mathbb{R}, измеримая относительно \mathcal{F} и борелевской σ-алгебры на \mathbb{R}. Вероятностное поведение отдельной (независимой от других) случайной величины полностью описывается её распределением.- Последовательность случайных величин ξn сходится почти наверное (почти всюду) к случайной величине ξ: \displaystyle{\xi_n\xrightarrow[n\longrightarrow\infty]{\text{ }}\xi} п.н., если \displaystyle{P\{\omega:\lim_{n\rightarrow\infty}\xi_n(\omega) = \xi(\omega)\}=1}.
- Последовательность случайных величин ξn сходится по вероятности к случайной величине ξ, если для ε>0 \displaystyle{P\{|\xi_n- \xi|>\varepsilon\}{}\xrightarrow[n\longrightarrow\infty]{ } 0}.
- Последовательность случайных величин ξn сходится по распределению к случайной величине ξ: \displaystyle{\xi_n\xrightarrow[n\longrightarrow\infty]{d}\xi}, если для любой непрерывной и ограниченной функции g(x) \displaystyle{Eg(\xi_n)\xrightarrow[n\longrightarrow\infty]{ }Eg(\xi)}.
Что такое распределение вероятностей?
Распределение вероятностей — это закон, описывающий область значений случайной величины и вероятности их исхода (появления).Что такое функция распределения?
Функция распределения в теории вероятностей — функция, характеризующая распределение случайной величины или случайного вектора; Вероятность того, что случайная величина X примет значение, меньшее или равное х, где х — произвольное действительное число. При соблюдении известных условий полностью определяет случайную величину.Что такое плотность распределения?
Что такое математическое ожидание?
Математическое ожидание — понятие среднего значения вероятностей.- В англоязычной литературе обозначается через \mathbb{E}[X] (например, от англ. Expected value или нем. Erwartungswert),
- в русской — M[X] (возможно, от англ. Mean value или нем. Mittelwert, а возможно от «Математическое ожидание»).
- В статистике часто используют обозначение \mu.
Что такое дисперсия?
Дисперсия (от лат. dispersio — рассеяние) случайной величины — одна из усреднённых характеристик случайной величины. Дисперсия случайной величины — мера разброса данной случайной величины, то есть её отклонения от математического ожидания. Обозначается D[X] в русской литературе и \operatorname{Var}(X) (англ. variance) в зарубежной. В статистике часто употребляется обозначение \sigma_X^2 или \displaystyle \sigma^2.Что такое начальные и центральные моменты?
Момент случайной величины — числовая характеристика распределения данной случайной величины. Если дана случайная величина \displaystyle X, определённая на некотором вероятностном пространстве, то:- \displaystyle k-м начальным моментом случайной величины \displaystyle X, где k \in \mathbb{N}, называется величина \nu_k = \mathbb{E}\left[X^k\right], если математическое ожидание \mathbb{E}[*] в правой части этого равенства определено;
- \displaystyle k-м центральным моментом случайной величины \displaystyle X называется величина \mu_k = \mathbb{E}\left[(X - \mathbb{E}X)^k\right].
